Área do circulo

Há várias formas e demonstrações para chegarmos à formula para o cálculo da área de um círculo.

E para terem uma noção de que este problema é antigo e a sua solução também já é antiga, vamos a um pouco de história ...

Em 212 A.C. (há 2 225 anos) morreu o maior matemático da Antiguidade Clássica e um dos maiores de todos os tempos... ARQUIMEDES de Siracusa. Nessa época, a cidade portuária de Siracusa  (uma região da ilha da Sicília, atualmente parte da Itália) fazia parte da Grécia. Um historiador grego, afirma que ele morreu com 75 anos, o que nos leva a apontar a data de nascimento para o ano 287 A.C. (há 2300 anos). Os pormenores da vida deste matemático não são muito conhecidos (se casou, se teve filhos...), mas a sua obra sim. De entre os vários estudos (matemática, física, astronomia, engenharia...) o grande cientista Arquimedes, demonstrou que o valor aproximado de Pi, se situava entre 3,1429 e 3, 1408 (reparem que atualmente usamos como valor de Pi = 3,14) e isto,  há mais de dois mil anos (2000).

Ao querer dar resposta ao problema sobre o valor aproximado de Pi , Arquimedes chegou à fórmula para o cálculo da área do círculo.

Para tal, começou por desenhar um polígono com um determinado número de lados, um círculo dentro desse polígono e outro polígono dentro do círculo, com o mesmo número de lados  e foi aumentando o número de lados (observem a imagem seguinte, para perceberem melhor a ideia) até chegar a um polígono com 96 lados....

Para se sentirem um pouco na pele de Arquimedes e do trabalho que ele teve, proponho que façam algumas experiências com a seguinte atividade interativa. Notem que esta atividade só desenha um polígono com 40 lados, no máximo,  só dentro do círculo e é o computador que tem esse trabalho... agora imaginem isso feito à mão... e ainda por cima, desenhar também o polígono fora do círculo...

Mas... antes de passarem à atividade, primeiro, umas instruções:

• Comecem por clicar em "Mais palavras, por favor" (três vezes)
• Depois, clicar e arrastar a bolinha do ponto t (para a frente e para trás) 
• A seguir, clicar e arrastar a bolinha do ponto k (para aumentar o número de lados do polígono) e repetir o passo anterior.

(Atividade interativa da responsabilidade de Humberto José Bortolossi da UFF - Universidade Federal Fluminense - Brasil). 

Agora, já podemos sistematizar as ideias:

• quanto maior for o número de lados do polígono desenhado dentro do círculo, maior é a área do círculo que é coberta pelo polígono.
• se cortarmos os sectores circulares e os juntarmos obtemos um paralelogramo que se aproxima da forma de um retângulo.
• A formula de cálculo da área de um paralelogramo é  base x altura.
• A formula de cálculo do perímetro do circulo é Pi x diâmetro ou Pi x 2r.
• Como o perímetro do círculo ficou distribuído nas duas bases do paralelogramo, cada base mede Pi x r
• A altura do paralelogramo é um raio do circulo.

Para arrumar melhor as ideias, observem a imagem seguinte:

Outra demonstração para a fórmula do cálculo da área do círculo é dada a partir da relação entre a área de um círculo e a área de um triângulo.

Para reterem melhor esta ideia, observem o vídeo a seguir:

(animação, originalmente, criada pela USP - Universidade de São Paulo, com locução da responsabilidade do canal de youtube Matemática Rio)

Fontes consultadas:

Wikipédia - Arquimedes

Wikimedia Commons - Area of a circle

Wikimedia Commons - CircleAreaEqualsTriangleArea